顶点小说

第209章 分层筛法（第1页）

他的指尖在草稿纸上快速演算起来，试图找到与哥德巴赫猜想適配的工具，寻找突破的可能。

现有的方法，无论是筛法还是圆法，都是从不同角度去逼近这个问题。

筛法像是用一张网去捞素数，圆法则像是用傅立叶分析去探测素数的分布频率。

但这两个工具都有一个共同的局限：它们都是在“外部”观察素数，而不是从素数集合本身的“內部结构”出发。

肖宿忽然想起自己之前研究辛几何时的一个想法。

在辛几何里，研究一个流形的性质，最直接的方法是研究它上面的函数空间。

那些函数在流形上的取值、变化、临界点，能告诉你这个流形长什么样。

如果把素数集合看作一个离散的“流形”呢？

在这个流形上，可以定义一类特殊的函数，比如，把每个偶数n映射成它能够分解成的素数对数目。

这个函数的值，就是哥德巴赫猜想关心的东西。

这个函数在整数轴上的分布，会不会有什么不变的结构？

肖宿重新坐直，打开一个新的文档，开始写下几行字：

“设p为素数集合。对任意偶数n，定义g（n）=#{（p，q）∈pxp:p+q=n}，即n的哥德巴赫分解数目。”

“问题是：g（n）是否恆大於0？”

写完之后，他盯著这几行字看了一会儿。

这是一个古老的问题，但他想换一个全新的角度去看它。

如果从傅立叶分析的视角，g（n）可以看作是两个素数集合的卷积。

也就是说，如果把素数集合表示成一个特徵函数，每个整数如果是素数就取1，不是就取0，那么g（n）就是这个特徵函数与它自身的卷积。

卷积在傅立叶域里会变成乘法。

也就是说，g（n）的傅立叶变换，等於素数特徵函数的傅立叶变换的平方。

所以，如果能搞清楚素数特徵函数的傅立叶变换，就能搞清楚g（n）的分布。

这是一个经典的圆法思路。

哈代和李特尔伍德在上个世纪初就用这个方法得到了一个渐近公式：

g（n）≈某个常数xn（logn）^2x一个与n的奇因子有关的修正因子。

但这个公式只是渐近的，不是严格的。

问题出在哪里呢？

“圆法给出的是主项的估计，但余项的控制一直无法做到足够小，根本原因在於，素数集合的傅立叶变换有太多的振盪，难以精確估计。”

但如果换一个视角呢？

不是从傅立叶域，而是从谱域出发呢？

这是他最近在研究ns方程时想到的东西。

在量子力学里，一个系统的能级分布，可以用谱理论来描述。

每个能级对应一个特徵值，这些特徵值的分布遵循某种规律。